时间：2026-03-11 分类：机械
摘要：主动磁轴承(Active magnetic bearing,AMB)具有无摩擦、低损耗、寿命长、可控性强等优点，因此广泛应用于各类旋转轴机械装置中。当前，许多应用于磁轴承系统的先进控制手段在理论上有着良好的控制效果，但在实际应用中却存在很大差异。在实际主动磁悬浮轴承系统中，磁悬浮轴承-转子系统制作偏差而使轴承磁力偏移，严重影响转子悬浮控制。为探究悬浮控制过程中转子运动状态，分析对比了等效磁路法与麦克斯韦积分法电磁力计算，在不完全微分PID控制基础上基于试验测试与理论推导提出了一种实际磁悬浮轴承系统下的运动力学分析悬浮控制方法。将转子运动过程分为加速、减速、波动阶段，对每一阶段转子运动行为特性与控制方法选择进行了研究，并应用于实际8极主动磁悬浮轴承系统中，最终使转子动态悬浮于气隙允许范围内。
关键词：主动磁悬浮轴承;运动力学;磁力;悬浮控制
论文《主动磁悬浮轴承运动力学分析与悬浮控制研究》发表在《电气工程学报》，版权归《电气工程学报》所有。本文来自网络平台，仅供参考。
0 引言
主动磁悬浮轴承(Active magnetic bearing, AMB)是一种主动控制系统，通过控制电磁力来支撑转轴，使其保持在悬停位置，而不与转轴发生物理接触。无接触摩擦和电磁力的可控性使磁悬浮轴承成为支撑高速转子的重要转子轴承系统之一[1]。当前，磁悬浮轴承的研究热点主要在于将其应用于高速电机并能够准确控制，即悬浮控制策略的研究。磁悬浮轴承无法工程化应用的重要原因在于理论模型与实际磁悬浮轴承存在明显差异，控制系统存在的滞后特性也影响着转子悬浮效果[2]。
近年来，转子动力学的研究越来越受到学者的重视，研究重点集中在两个方面：一是建立尽可能符合实际转子结构和运行状态的力学模型，并计算此类复杂转子系统的响应特性;二是更深入研究各类非线性激励引起的响应特性[3]。非线性问题始终影响着磁悬浮轴承系统的控制策略研究，CTIBOR等[4]对单轴径向主动磁悬浮轴承进行了非线性分析，认为磁悬浮轴承系统存在力-位移非线性、力-电流非线性以及电流-磁通非线性，并利用Matlab描述了磁悬浮轴承系统的非线性数学模型。意大利罗马大学的BRUZZESE等[5]对比了径向主动磁悬浮轴承的解析数学模型和基于ANSYS构建的有限元模型，认为数学模型分析得出的磁通密度数值明显大于有限元分析得出的数值，即使在进行优化处理时，也必须通过FEM进行数值分析从而确定实际磁悬浮轴承系统的设计参数。文献[6]经过大量文献调研，阐述了磁悬浮转子不平衡振动的产生原因，讨论了基于轴承电磁力最小和转子位移最少两种控制策略的不平衡振动控制方法。姜豪等[7]在相关运动学基础上，以船舶摇摆倾斜环境中的磁悬浮轴承转子系统为研究对象，分析了载体运动对定子运动的影响，并利用拉格朗日方程推导了任意倾斜角度下转子的非线性动力学方程，进一步考虑了定、转子运动对磁悬浮轴承重力载荷和电磁力的影响，建立了运动平台上磁悬浮轴承-转子系统的数学模型。MARTYNENKO等[8]提出了一种考虑控制律的主动磁轴承功率特性数值计算方法，利用麦克斯韦应力张量法计算电磁场力并将其应用在轴向与径向磁轴承中，通过与试验数据对比，证明了该方法在磁力轴承基础力和刚度特性计算中的实用性。
当前针对实际磁悬浮轴承系统与理论模型差别，利用实际磁悬浮轴承系统转子运动特性改进控制策略的研究较少。本文考虑实际磁悬浮轴承转子处于不同位置处时转子受力偏移与传统磁力理论推导存在差异，对比了两种磁场力理论计算方法，应用于实际8极主动磁悬浮轴承系统，逐一分析转子起动后向上运动过程，以实际转子运动状态改进控制方法，使转子动态悬浮于气隙范围内。
1 模型解析与电磁力计算
1.1 模型解析
主动悬浮磁轴承为机电一体化的复杂输入输出非线性系统，主要由功率放大器、传感器、轴承本体、转子等组成[9]。位移传感器检测转子的位置并将位移信号传输至控制器电路中，控制器电路比较参考位移与输出位移信号后，将控制指令发送到功率放大器电路，以此调整电感线圈电流而改变转子所受磁力使转子受力平衡，实现转子在磁场中的相对稳定悬浮。
由于相关主动磁悬浮轴承控制系统设计，实际8极磁轴承样机有以下条件：① 轴向与径向非耦合，本文暂不考虑轴向方向;② 占空比与电流负相关，占空比 D 的范围为0~800;③ 控制策略采用不完全微分PID。
径向8极主动悬浮磁轴承结构中，磁悬浮轴承转子受轴承A端与B端磁力共同作用。同等线圈电流激励下，NSNS布置产生的强磁耦合增加了控制策略的复杂性，而以NNSS布置时，磁耦合几乎趋近于0[10]，为更加精确控制转子位置，以NNSS布置适用于实际磁轴承系统，相关设计参数如表1所示。
表1 磁轴承相关参数表
| 参数 | 数值 |
| 径向轴承单极匝数 | 140 |
| 定子内径 /mm | 56 |
| 定子外径 /mm | 92.5 |
| 转子直径 /mm | 30 |
| 定子齿槽占空比 | 0.65 |
| 线圈电感 /mH | 18.2 |
| 真空磁导率 μ₀/(H/m) | 4π×10⁻⁷ |
| 转子质量 /kg | 1.1 |
| 偏置电流 /A | 1.5 |
| 平衡位置转子气隙 /mm | 0.5 |
| 转子轴向宽度 /mm | 25 |
| 初始转子上端气隙宽 /mm | 26 |
| 直流母线电压 /V | 5 |
| 漏磁系数 | 1.03 |
| 定子槽间距 /mm | 15.5 |
| 定子磁轭宽度 /mm | 47.2 |
| 磁极高度 /mm | 28.57 |
| 磁极宽度 /mm | 18.5 |
1.2 等效磁路电磁力计算
磁体作用力产生于不同磁导率μ₀介质的边界上[11]，而这又与场能理论相关。为准确描述磁悬浮轴承系统的磁力特性，传统磁力计算以线性化为主，考虑存储在气隙中的能量在磁路气隙中均匀分布，利用虚位移原理推导出磁力与电流以及气隙的表达式，即磁力与电流的二次方成正比，与气隙的二次方成反比[1]。等效磁路分析法衍生于虚位移原理电磁力计算，将径向磁轴承分为定子磁轭段、定子磁极段、气隙段和转子磁轭段四个部分。
任意不平衡位置处的转子，以转子位于中心位置为基准，考虑转子与中心平衡位置差异用偏心角度α与位移d表示。其中g₀为轴承转子在中心标准位置处气隙长度，α为转子任意位置处偏心角，g(α)为气隙周向位置α处的气隙长度，θ为中心基准位置处转子圆周角度(0~360 °)，o点为中心位置时转子轴心，O₁为任意位置处的转子轴心。d为任意位置处与基准中心位置处的位移，h_d为定子槽间距，h_y为定子磁轭宽度，h为磁极高度，h_r为转子有效磁路磁轭宽度，h_s为磁极宽度。由几何关系，当转子在任意位置时，$g(alpha)=g_{0}-d cos (alpha- heta)$。
初始气隙磁通密度表示为：$B_{g, i}=frac{mu_{0} M_{i}}{gleft(alpha_{i} ight)}$，其中$egin{cases} M_{i}=N I_{0}+N I_{i} \ alpha_{i}=frac{pi}{8}+frac{pi}{4}(i-1) end{cases}$，i∈[1,8]，I_i为控制电流，I₀为偏置电流，α_i为磁极中心的气隙周向位置。
考虑泄漏补偿系数λ_i，磁轴承磁极面积相较于气隙要大得多，边缘效应忽略不计[12]，节点i处定子磁极磁通密度$B_{s, i}=frac{B_{g, i}}{lambda_{i}}$。
转子磁轭段节点i截面磁通与节点i+1径向总磁通相等，节点i处转子磁轭磁通密度：
定子磁轭磁通密度：
在得到等效磁路全回路等效磁通密度后，迭代修正转子气隙磁通密度，求得回路的总磁动势为：
式中，H_s,i、H_r,i、H_y,i分别表示节点i处定子磁极、转子磁轭、定子磁轭的磁场强度，可由B-H磁化曲线得到，l_s、l_r、l_y为其相应有效长度，可由几何关系计算得出。
将气隙沿圆周等间隔分为n个位置点，由总磁动势修正气隙磁通密度，即可计算出每个位置的气隙磁通密度，通过各位置的矢量综合计算合力，得到电磁力为：
式中，Fₓ和Fᵧ分别为水平方向和垂直方向上磁力分力;B_g,α为α位置气隙磁通密度;S_α为α位置等效磁极面积，$S_{a}=frac{2 pileft(R_{1}+g_{0} ight) l}{n}$，l为AMB轴向长度。
针对不同的电流和转子位置，可计算出磁悬浮轴承的电流刚度k_I和位移刚度k_S：
即考虑转子不平衡位置处的磁轴承等效磁路电磁力线性表达式为：$F(I, d, alpha)=k_{I} I-k_{S} d$。
1.3 麦克斯韦应力张量积分电磁力计算
动量守恒可以绕开具体原子机制计算宏观的动量转移，对恒定磁场，选择一个高斯面将物体包括在里面，计算总的“应力”，只需要知道物体周围一个曲面上的电磁场，就可以知道物体受的总的电磁力[13]。这便是麦克斯韦应力张量理论，它描述了两块区域电磁场之间的动量交换，应用于磁轴承系统中，轴承电磁力可由体积力f表示：$f= abla cdot T$，式中，T定义为体积力的麦克斯韦应力张量，是一个二阶张量，可以表示为：
式中，ε₀为电常数，μ₀为磁常数，E表示电场，B表示磁场，T_ij表示i方向确定j方向垂直平面单位面积的麦克斯韦应力张量。
转子在磁场中所受磁合力可利用动量守恒推导表示为：$F=int_{V} abla cdot T d v=oint_{S} T cdot d s$，式中，S为包含转子在内的高斯曲面，一般设定在气隙与转子临界曲面上，对径向磁轴承转子系统可看成二维曲面，磁力可表示为：
式中，t、n分别表示积分路径上的切向单位矢量和法向单位矢量。
对转子区域，由于不存在电流密度，转子材料具有无限渗透性，其外表面的磁通密度矢量的切向分量应为0[16]，合力可进一步化简为x方向与y方向的磁力分量：
式中，fₓ、fᵧ表示x、y方向上的单位面积磁场力，可由上述公式计算得出;L为径向磁轴承在磁场中的厚度;r为转子半径。
2 磁轴承-转子运动力学分析
对磁轴承转子受力分析可知，前后端产生电磁力大小相等，因此，在试验与理论推导中，将前后A、B端磁力共同作用等效为水平X方向和竖直Y方向的磁力合力Fₓ与Fᵧ表示。
理想状态下，转子在X方向受力为0，但实际轴承系统磁力偏移使转子X方向产生力的分量。为实现动态平衡，须使转子在Y方向考虑转子重力作用下受力为0，使转子在上下气隙最大允许范围内减速至0且不发生碰壁。
起动阶段，转子由上端线圈通电产生电磁力吸引而向上运动，即加速阶段。转子在向上运动过程中与上端线圈的气隙越来越近，转子受力越来越大，为避免转子在运动过程中发生过冲现象，要保证转子在最大气隙范围内速度降至零，在转子运动到某一位置处转子“减速”，为减速阶段。此后，转子因受力不平衡继续上下运动直至动态平衡，即为波动运动阶段，本文将逐一分析这3个阶段转子运动过程，以加速度描述电磁力的作用，以转子质心的运动轨迹描述转子的实际运动行为特性。
2.1 加速阶段转子运动力学分析
初始时刻转子由于重力作用而位于轴承系统底部，上下端线圈通过差动控制产生合力使转子克服重力而向上运动。
轴承转子运动方程可表示为 $ma=F_y-mg$，由于传感器转子位置数据间隔设置一致，可用速度平均值求微分得到平均加速度，可表示为：$a_{n}=frac{Delta v_{n}}{Delta t}$，式中，aₙ表示第n个位置处转子加速度;Δvₙ表示第n个与第n-1个位置间隔内转子的平均速度之差;Δt为传感器所测转子位置间隔时间，PWM频率设置为10 kHz，线圈PID调试的时间间隔为1 ms，即传感器输入控制系统数据间隔为1 ms。
理想状态下，转子加速阶段只受Y方向的磁力影响[17]，在加速阶段，上端给力初始占空比影响后续转子的整个控制过程，需要经过严格试验测试，确定上端占空比与转子位置、速度以及加速度的关系。在转子克服重力作用前提下利用不同占空比分组试验测试加速运动阶段转子质心运动分析，占空比选择范围为300~550。
以上端D=450为例，加速阶段转子向上运动加速度与理论推导下的加速度基本一致，证明了磁力理论推导的正确性。对不同占空比控制下的加速度、速度、位置的三维关系曲线图分析可知，三个变量之间呈现强烈的非线性关系，占空比的加入使得变量间非线性关系更加明显，通过对转子的加速度、速度、位置以及占空比的三维曲线进行拟合与线性对比，结合磁力理论推导，加速度与位移、占空比线性关系可描述为：$a=106.95+56.6 x-0.172 D$。
2.2 减速阶段转子运动力学分析
转子在加速过后仍将继续向上运动，为保证转子不发生碰壁，在这一阶段转子速度需要在上端气隙范围内减至0。减速阶段运动力学分析可分为两种情况考虑，一是在转子加速运动后某一减速点关断上端线圈供电，由转子自身重力使其减速，此时转子加速度为恒定负重力加速度，即匀减速运动;二是在上端关断线圈供电后，转子自然减速不能在气隙允许范围内减速至0，此时需要下端线圈通电介入，此时转子做变减速运动。
2.2.1 转子匀减速运动分析
经加速阶段后，转子已经具有初速度，为保证转子在匀减速运动阶段在气隙范围内减速至0，应选择最大允许范围内即最大减速点位置上端断电。
利用上述加速度公式由实测数据推导出使转子在上端气隙最大允许范围内减速至0的最大减速位置点，上端占空比选择300~510时，最大减速点位置在Y方向+0.09~0.29 mm。
2.2.2 转子变减速运动分析
匀减速运动利用转子自身重力加速度而减速，但并非所有情况下转子都能经自身重力作用在最大气隙允许范围内减速至0。在最大减速点之外减速或是初始加速阶段给定较大的电磁拉力，此时仅靠转子自身重力不足以使转子在气隙范围内减速至0而过冲碰壁，此时需要下端通电介入，转子做变减速运动。这一阶段转子运动过程复杂，下端介入占空比选择与转子位置相关，利用加速度公式理论推导预测下端介入所需占空比调控。
以上端占空比450为例，取0.3 mm位置减速，即在最大减速点位置外减速，经计算理论推导下端占空比范围为340~520。变减速运动状态下，下端介入占空比随着转子位置时刻变化[18]，而在实际磁悬浮轴承控制系统中，占空比随时间难以实现。利用线性化逐步逼近以求得占空比，在相应位置段对理论推导下的占空比取平均值线性逼近，理想状态下，位置段选择越短，越接近理论推导数值[19]。
2.3 波动阶段转子运动力学分析
受力平衡是悬浮的前提条件，实际磁悬浮轴承系统是非线性的，这一特性决定了转子最终达到的悬浮状态是在气隙允许范围内的动态平衡。加速试验测试表明，转子加速度、速度与占空比的线性关系可应用于转子运动特性分析。波动阶段转子的运动行为实质是前述加速、减速阶段的重复与延续，区别仅在于转子位置的改变。
波动阶段过程转子的控制选择与位置密切相关。例如，在经减速阶段后，上端气隙已经十分狭窄(在最大减速位置点减速)，此时，上端给力将使转子来不及介入减速过程而发生碰壁。为避免这一现象，在经减速阶段转子减速至0后继续利用转子自身重力作用而向下运动至最大减速点位置处，此后再使上端给力进行加速后又减速的波动控制。对转子全过程的悬浮控制考虑以中心位置为波动参考位置。
3 转子运动过程优化
3.1 PWM调制下绕组电流的建立
占空比D定义为主动磁悬浮轴承控制系统功率放大器开关控制脉冲PWM调制信号[20]，由于实际控制系统设计，占空比范围为0~800。转子在加速运动阶段经过一段时间后才有一定的加速度，例如上端占空比为450时，加速阶段需要10 ms转子才向上运动，多次试验发现随着占空比D增加，这段时间也在增加。实际轴承转子需要经过一定的磁力累加克服自身重力的惯性力作用才能向上运动。
线圈电流需要一定的时间才能达到使转子克服重力作用的最小克服电流值I₀。占空比的大小影响电流建立的速度，占空比越大，电流达到克服值的时间越长。经试验测试与理论推导，两种磁力计算下，使转子克服重力时上端占空比最大值为500左右。对实际磁轴承系统功放电路进行试验测试拟合得到电流与占空比关系表达式为：$I=-0.0076 D+5.2556$。
3.2 左右端运动过程优化
实际磁悬浮轴承系统由于在设计上的客观因素以及转子前后端重心的偏差使得线圈对转子的吸力有若干角度的偏移，随着转子在磁场运动，偏移角度随转子位置变化，严重影响磁悬浮转子控制。例如，在减速阶段后，转子在Y方向的速度虽然接近于0，但由于实际磁力的偏移，转子仍在某一方向具有合速度且在Y方向存在一定加速度，这将导致转子在减速过后仍有可能在某一方向产生位移，使转子仍然有过冲的可能，需要对转子运动过程进行进一步优化改进。
经实测计算后得到转子加速度和合加速度，对该位置处的转子磁力偏移角α可由加速度与合加速度三角函数关系式计算得出。将传感器示数转换成转子轴心坐标(x, y)，利用竖直Y方向和水平X方向位置参数计算每一个位置点转子在相同时间间隔内的位移进而计算速度参数，包括Y方向的分速度和利用合位移计算出的合速度进而求取加速度参数。
以上端占空比450为例，转子初始位置、加速阶段末位置、减速阶段末位置、中心平衡位置的偏移角度范围在20°~32°。经试验测试，由偏移角确定水平方向所需加速度大小，再利用磁力计算公式确定占空比，使转子抵消在水平方向的偏移运动。加入右端给力补偿后，转子运动向左偏移明显好转，等效磁路法右端给力使转子水平方向偏移由0.312 1 mm减小至0.195 4 mm，积分法右端给力则减小至0.141 9 mm，对比来看，积分法更接近于实测磁轴承-转子运动过程。
以上端D=450，考虑变减速运动，加入右端给力补偿，初始时刻转子受上端电磁力作用经10 ms克服重力向上作加速运动，在第23 ms下端电磁力开始作用使转子做减速运动，在中心点位置Y方向速度接近于0。此后转子仍有速度继续向上向右运动(此过程水平右端给力)，此后左右及上下端继续给力，最终使转子达到受力平衡，转子上下波动在Y方向(−0.1 mm,+0.1 mm)范围内，实现动态平衡。
4 仿真与试验平台测试
在Simulink构建了8极主动径向磁悬浮轴承模型，采用不完全微分PID，位移传感器对转子轴心位置采集X、Y方向上位置信息，与中心位置为参考信号做对比，由不完全微分PID控制器对差分信号进行分析，发出相应的电流指令信号使线圈功率放大器电路输出相应的信号改变线圈电流大小。
以上端D=450，理想状态下仿真结果表明，经过0.2 s时，转子克服重力开始运动，之后经0.01 s左右到达中心点位置。这表明理想状态下(即转子磁力无偏差)，不完全微分PID控制可使转子在较短时间内运动至中心位置并能稳定悬浮，但理想状态下的仿真结果并不能完全描述转子的运动过程，需要在实测运动下优化控制。
搭建实际8极主动磁轴承试验平台，完成了转子初始位置与中心悬浮位置的实测，以及不同占空比下转子运动轨迹的测试，验证了所提控制方法的有效性。
5 结论
(1) 对转子在加速、减速运动阶段由理论推导的两种磁力计算方法与试验进行了对比，基本符合试验测试结果，积分法求解电磁力更符合实际系统，验证了理论推导的正确性。
(2) 对减速阶段根据试验测试数据计算了匀减速运动最大减速点位置，上端占空比选择300~510，最大减速点位置在Y方向+0.09~0.29 mm。对转子变减速运动进行试验测试，上端不同占空比调试时下端占空比选择范围在340~520。
(3) 考虑实际转子磁力偏移角度，以上端占空比450为例，由试验测试数据计算了不同位置的偏移角度，偏移角度范围在20°~32°，并代入理论推导左右端给力，优化了运动过程，左右端最大偏移减小至0.2 mm以内，使转子动态悬浮在轴承气隙范围内。本文对实际轴承系统运动力学分析有利于对实际磁悬浮轴承系统的悬浮控制研究，对工程上磁悬浮轴承的应用与发展有重要参考意义。
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