时间：2026-01-13 分类：机械
谱单元计算方法在结构振动分析中具有传播机理明确、计算效率高等优势，但在处理复杂结构谱单元矩阵时由于子结构的等效问题带来了计算结果的偏差。针对船舶典型周期性板架结构，提出了基于梁与弹振子子结构组成的板架结构等效物理模型，构建了多周期格栅结构和振子格栅结构的谱刚度阵，并建立两种结构的有限元模型进行验证。通过将有限元及谱单元的振子格栅模型与有限元板架模型带隙与振动响应特性进行对比，确定两种模型中合适的振子质量系数与带板作用系数，验证了该计算方法的准确性。
关键词：谱单元法;周期结构;振动特性计算方法;结构等效方法
论文《船舶典型周期板架结构动力学等效谱单元计算方法》发表在《振动与冲击》，版权归《振动与冲击》所有。本文来自网络平台，仅供参考。
1 引言
船舶在运行过程中产生的振动会通过船体结构向外辐射噪声。对于军用船舶，船舶产生的噪声会对其声学隐身性能产生影响，从而影响舰船的作战和生存能力;对于民用船舶，噪声会对船员的工作能力和心情产生影响，严重的船体振动甚至会破坏船体结构。
对于船体振动噪声而言，船体结构是振动传播的主要途径。分析船体结构的振动特性对结构噪声的分析与控制具有非常重要的意义。船体板架以周期性板架为主，其中纵桁和肋骨多以周期形式出现，大部分船体板架具有周期特征。通过对周期板架进行等效建模可以大幅节约其计算成本，因此本文对船舶典型周期板架等效展开研究。
谱单元法是一种将动态刚度矩阵法与快速傅里叶变换(fast Fourier transform, FFT)相结合而来的针对动力学问题的高精度分析方法。在20世纪80年代，Doyle推导了一系列谱刚度阵，并对谱单元法进行了命名，为后续谱单元法的发展奠定了坚实的基础。Gorji Azandariani等[2]使用谱单元法对功能梯度梁轴向振动特性分析，通过Hamilton原理确定梁运动方程和边界条件，并与以往结果进行比较并展开参数化分析。Abbaszadeh等[3-5]使用谱单元法，对如Rosenau-Burgers方程等一系列方程提出新求解方法。Lin等[6-7]建立谱单元与有限元混合法(finite/spectral element hybrid method, FE-SEHM)分析模型，对具有轴向变形的Timoshenko梁芯的弹性超材料夹层板，考虑了面内和面外振动，对其动力学响应进行了分析。
当弹性波在周期结构中传递时，在某些频段内弯曲波传递受到抑制，振动响应明显衰减，这种频段称之为带隙。Tang等通过在单根梁上施加周期振子，建立了梁-弹簧振子耦合系统的频散关系，揭示了梁-弹簧振子耦合系统的局域和非局域共振衰减带的强耦合效应可以显著增大带隙的宽度。Yan等通过在单元格栅的每段梁中点施加弹簧振子建立局部谐振的格栅结构，并通过谱单元法与有限元法对结构振动特性研究，验证了带隙计算方法的有效性。Wang等[10-11]提出了可以使用谱单元法与波动有限元法的数值分析模型，通过在单元格栅的每个端点处，施加与格栅单元同一平面且与梁垂直的两个弹簧，并在弹簧相交位置施加质量点建立了格栅-振子结构，并对架结构进行等效，得出了周期板架结构在高频位置带隙的计算方法。Hao等[11]使用谱元法对超材料多跨梁的带隙特性展开一系列研究。李宝辉等[12]从Timoshenko梁模型出发建立了管道模型的振动分析的谱单元方法，通过计算管道在不停流速下的固有频率以及不同载荷下的动响应验证其有效性。曹蓉宁等使用谱单元法对矩形楼板结构的动力学响应进行计算，将矩形板的求解问题转化为两个单向板的求解，在较高频段具有较好的计算结果。
在之前的研究中对梁或板架的等效中，主要聚焦复杂结构中弹性波的传播特性，基于复杂结构中弹性波传播波长、波速等行波传播参数为等效条件对梁或者板架进行等效时会由于缺少对弹性波衰减特征的考虑而产生振动计算分析偏差。相关研究中以弹簧振子耦合梁对板架进行等效为主，但在以等效梁模型对复杂板架结构的等效传播机理方面未能说明。因此，本项目基于之前的研究，将船体板架的波动和振动相结合，提出了基于谱单元法的振动特性分析方法，在以梁模型为主要弹性波传播路径的基础上，充分考虑板格结构对弹性波传播衰减起到的关键作用，提出复杂板架结构的等效模型，为研究船体结构振动提出了新的研究思路。目前对振子-格栅结构的研究大多集中在中高频率范围内带隙的研究。本结构在格栅单元相交节点处施加弹簧振子，通过该格栅单元建立完整的格栅振子结构，针对板架结构的低频振动等效方法进行研究。本文通过节点关系，将梁单元耦合为格栅单元，获得格栅单元的谱刚度阵。之后，将振子结构耦合到格栅结构中，依照节点耦合关系，获得振子格栅单元的谱刚度阵，并对振子格栅谱刚度阵进行验证。之后对船体典型周期板架进行等效，并等效模型的振动响应进行计算，与板架模型的计算结果比对，验证等效方法的有效性和使用谱单元法对等效模型计算进而贴近原始板架模型振动特性的可行性。
2 弹簧振子单元的谱刚度阵
2.1 弹簧振子结构单元推导
弹簧振子结构单元如图1所示。对沿z轴方向的垂向振动谱刚度阵进行推导，弹簧振子单元在垂向振动时的频域运动方程为：
式中：(m_{r})为振子质量;(w_{r})为振子垂向位移;(m)为节点质量;(w)为节点垂向位移;(k)为弹簧刚度。对(w_{r})和(F_{z})求解可得：
图1 弹簧振子结构单元 Fig.1 Structural unit of spring vibrator
由式(2)和式(3)，并设节点质量(m=0)，可得弹簧振子的谱刚度阵为：
此处仅对振子梁单元中振子的总体谱刚度阵进行表示，振子与梁的耦合关系将在后续振子格栅单元构建时进行讨论。弹簧振子梁结构单元示意图如图2所示。
图2 弹簧振子梁结构单元 Fig.2 Structural unit of spring vibrator beam
梁单元每个节点具有6个方向的运动自由度，因此假设梁单元两端节点响应和节点力的表达式为：
对于面外振动，梁单元两端弹簧力和梁单元两端节点位移的关系为：
其中：
2.2 周期振子格栅结构振动特性分析
2.2.1 有限周期格栅结构振动响应计算
二维周期格栅结构物理模型如图3所示，周期格栅结构由若干个格栅单元组成，每个格栅单元由四个梁单元共节点相连组成十字交叉结构。由于四个梁单元相互之间存在角度，因此在获取格栅单元的谱刚度阵过程中需要将梁单元的谱刚度阵从其所在梁单元的局部坐标系转化到格栅单元所在的整体坐标系中，坐标变换矩阵表达形式如下：
式中，(l_{i})、(m_{i})和(n_{i})为局部坐标系中的某一坐标轴相对于总体坐标系中三个坐标轴的角度余弦。
使用此坐标变换矩阵可得到格栅单元的总体坐标系具体转换形式如下：
式中：(F_{g})、(d_{g})为总体坐标系中梁单元的节点力和节点响应;(F_{c})、(d_{c})为局部坐标系中梁单元的节点力和节点响应;(T)为梁单元坐标变换矩阵，其表达式为：
由梁单元的节点力与节点响应的关系推出，在总体坐标系中梁单元的谱刚度阵可以表示为：
式中：(K_{g})为总体坐标系中梁单元谱刚度阵;(K_{c})为局部坐标系中梁单元的谱刚度阵。
假设梁单元两端节点经过坐标变换后，其节点力和节点响应的表达式为：
则总体坐标系中某一梁单元的运动控制方程可写为：
式中，(K_{i i})、(K_{i j})、(K_{j i})、(K_{j j})为该梁单元经过坐标变换后在总体坐标系中的谱刚度阵，其矩阵维度为(6×6)，对应梁单元节点6个方向的运动自由度。
一个格栅单元的简单示意图如图4所示，四个梁单元共用节点相连，梁单元之间相互垂直。通过坐标变换矩阵获得了四个不同角度组装的梁单元在总体坐标系中的谱刚度阵，依照节点对应关系推出格栅单元运动控制方程为：
图3 二维周期格栅结构模型 Fig.3 Two-dimensional periodic grid structure model
图4 格栅单元简单示意图 Fig.4 Simple schematic diagram of grid unit
式(16)可以简写为：
对图5中结构进行分析，根据图5中单元节点编号，总结各类型节点数量与x轴和y轴方向单元数量的关系为：
式中：(n_{toa})为结构节点总数(共33个);(n_{cen})为单元中心点数量(共9个);(n_{x-lin})为结构x轴方向连接点数量(共6个);(n_{y-lin})为结构y轴方向连接点数量(共6个);(n_{sid})为结构边界点数量(共12个);(n_{x})为结构在x轴方向上的单元数量;(n_{y})为结构在y轴方向上的单元数量。
图5 多周期格栅结构 Fig.5 Multi-period grid structure
格栅结构的各个节点力与节点响应的关系为：某一节点力的方程与该节点的节点响应和该节点所在梁另一端的节点响应有关，而节点响应项前的谱刚度项下标，为该节点编号指向节点响应项节点编号。由此，可以写出多周期格栅结构中各节点力与节点响应的关系，耦合所有节点力与响应关系，即可获得整个多周期格栅结构的运动控制方程，进而构建出该多周期格栅结构的谱刚度阵。
对于单元中心点：
式中：下标(cen)为单元中心点编号((a_{1}~a_{9}));下标(adj)为单元中心点的相邻四个点编号。
对于结构x轴方向连接点：
式中：下标(x-lin)为结构x轴方向连接点编号((b_{1}~b_{6}));下标(cen)为下标(x-lin)对应点的相邻两个单元中心点((a_{1}~a_{9}))。
对于结构y轴方向连接点：
式中：下标(y-lin)为结构y轴方向连接点编号((c_{1}~c_{6}));下标(cen)为下标(y-lin)对应点的相邻两个单元中心点((a_{1}~a_{9}))。
对于结构边界点：
式中：下标(sid)为结构边界点编号(1~12);下标(cen)为下标(sid)对应点的相邻单元中心点((a_{1}~a_{9}))。
将式(19)~式(22)整合，即可获得整个格栅结构的振动控制方程。因为在多周期格栅结构中，不同下标的谱刚度阵的实际数值是相同的，可以使用统一的符号来表示。以图6所示的基础格栅单元为标准，通过节点编号统一下标。
图6 节点符号标准格栅单元 Fig.6 Node symbol standard grid unit
其整体谱刚度阵中各个节点对应的谱刚度阵符号即可简化为如下形式：
将上述替代关系代入式(19)~式(22)中，合并方程组为矩阵形式，得到该多周期结构的振动控制方程。根据需求的力输入的具体数据确定结构力矩阵，对振动控制方程求解即可获得多周期格栅结构中各节点的振动响应。
为了验证该方法求出的多周期结构的整体谱刚度阵的准确性和整体振动控制方程的可行性，对比相同工况设置、相同结构属性设置下，谱单元法计算结果与有限元法计算结果。多周期格栅结构有限元计算模型如图7所示。本节中组成格栅结构的梁单元截面均为圆截面，半径为0.02m，梁单元长度均为0.5m。在格栅单元中，梁单元1与梁单元3采用相同材料：密度为(7850 ext{kg/m}^3)，弹性模量为(2.1×10^{11} ext{Pa})，泊松比为0.28;梁单元2与梁单元4采用相同材料：密度为(2600 ext{kg/m}^3)，弹性模量为(7×10^{10} ext{Pa})，泊松比为0.33。
图7 多周期格栅结构有限元模型 Fig.7 Finite element model of multi-period grid structure
在点(a_{4})施加沿z轴垂直向下的瞬时单位激励力，从0~1000Hz扫频计算多周期格栅结构振动响应，提取点5的沿z轴的垂向振动响应。谱单元法频域响应曲线和有限元法频域响应曲线如图8所示。
图8 格栅结构的点(a_4)激励源有限元法与谱单元法计算结果 Fig.8 Calculation results of point (a_4) excitation source finite element method and spectral element method for grid structure
通过对上述两个工况计算出的频域响应曲线结果对比，使用谱单元法计算的结构响应与使用有限元法计算的结构响应基本吻合，表明使用此推导方法推出的多周期结构谱刚度阵和振动控制方程是准确的。
2.2.2 有限周期振子格栅耦合结构振动响应计算
二维周期振子格栅结构物理模型如图9所示。对于其中的振子结构，其弹簧下端节点力和节点响应的关系在前文中已推导，结合格栅结构的振动控制方程，依照节点关系耦合，即可获得振子格栅单元的振动控制方程。
图9 二维周期振子格栅结构模型 Fig.9 Two-dimensional periodic oscillator grid structure model
结合前文提出的获得多周期格栅结构谱刚度阵和振动控制方程的方法，在格栅结构上施加弹簧振子的过程中，弹簧振子的谱刚度阵可以直接按照节点对应关系施加到格栅系统的谱刚度阵中。
以图10所示的多周期振子格栅结构为例，该结构中各节点力和节点响应的关系如下：
对于结构中心点：
对于结构x轴方向连接点：
对于结构y轴方向连接点：
对于结构边界点：
式中，下标含义与2.1节保持一致。
因为在该周期振子格栅结构中，所有弹簧的刚度是相同的，所有振子的质量是相同的，并且在分析振子运动时只考虑振子结构在z轴方向上的垂向振动，因此该系统中所有弹簧振子的谱刚度阵实际数值是相同的，可用相同参数符号进行替换，以简化后续计算步骤。
结合2.1节中提出的符号替换准则，将其代入式(26)~式(29)中，将方程组转换为矩阵形式，即可获得该结构的整体振动控制方程和谱刚度阵。
在点(a_{4})施加沿z轴垂直向下的瞬时单位激励力，从0~1000Hz扫频计算多周期振子格栅结构振动响应，提取点5的沿z轴的垂向振动响应。有限元计算云图、谱单元法频域响应曲线和有限元法频域响应曲线如图11所示。
图11 振子格栅结构的点(a_4)激励源有限元法与谱单元法计算结果 Fig.11 Calculation results of point (a_4) excitation source finite element method and spectral element method for vibrator grid structure
通过对上述工况计算出的频域响应曲线结果对比，使用谱单元法计算的结构响应与使用有限元法计算的结构响应基本吻合，表明使用此推导方法推出的多周期结构谱刚度阵和振动控制方程是准确的。其在高频处峰值频率上有一定误差，原因是弹簧振子的施加引起梁的桁架扭转，低频扭转影响较小，高频扭转影响较大，但在板架结构中扭转并非主要因素，可忽略扭转影响。
3 船舶典型周期板架结构的等效方法
3.1 周期振子格栅结构的等效方法
在实际的船体结构中，舰体底部、甲板、舷侧和舱壁等主要构件均为由框架与平板组成的板架结构。在这些大型构件中，桁材、骨材和肋板、横梁组成框架结构，如图12(a)所示。本章主要探究周期板架结构的等效方法，其中的板结构对框架结构中的梁单元，不仅会作为带板增强梁单元的刚度，还会作为局域共振系统消耗能量。根据这些作用，组成如图12(b)所示的等效模型。在获得等效模型时，首先将框架结构等效为具备带板的格栅结构，并在格栅结构的中心点施加弹簧振子，用以等效局域共振系统的能量耗散作用。最后，从固有频率、带隙位置和振动响应三个方面与板架模型进行对比，论证等效模型的有效性。
图12 等效示意图 Fig.12 Equivalent schematic diagram
板架结构中的纵横框架结构被等效为格栅结构，等效格栅结构中的梁单元是在原板架模型梁截面单元的基础上增添带板，因此等效模型与板架模型的梁单元截面不同，需要计算不同梁截面的抗弯惯性矩、抗扭惯性矩、剪切修正系数，以及确定带板作用系数。
在等效模型中，梁单元是在船体板架中的梁结构截面基础上添加带板，用以等效板架模型中底板对梁结构刚度的影响。本文中引入的带板作用系数，表示等效模型中采用的带板宽度与板架模型中梁单元间距的比值，其表达式为：
式中：(k_{Bx})为等效模型沿x轴布置梁单元的带板作用系数;(d_{Bx})为等效模型沿x轴布置梁单元的带板宽度;(d_{x})为板架模型沿x轴布置梁单元之间的间距;(k_{By})为等效模型沿y轴布置梁单元的带板作用系数;(d_{By})为等效模型沿y轴布置梁单元的带板宽度;(d_{y})为板架模型沿y轴布置梁单元之间的间距。其中带板作用系数的数值通过与板架模型的固有频率对比进行确定，以实现动力学相似。
为了模拟板架中板格作为局域共振系统起到耗散能量的作用，需要在已有的格栅等效模型基础上添加弹簧振子系统。弹簧振子系统的参数由板格单元的动力学特性决定，对于板格单元，可将其视为四边固支的薄板单元。
根据伽辽金法，在板格区域内进行积分即可解出板格的固有频率表达式。在本文的等效过程中，选取板格的一阶固有频率作为弹簧振子系统的固有频率，弹簧振子的固有频率计算式为：
式中：(K_{r})为弹簧振子刚度;(m_{r})为振子质量。本文中通过带板的一阶固有频率，确定弹簧刚度与振子质量的比值。振子质量通过板格质量(m_{p})进行计算，引入振子质量系数(k_{mr})，振子质量与板格质量的关系如下：
通过式(34)改变振子质量，形成多组弹簧振子搭配方案，将等效模型的固有频率与板架模型的固有频率对照，确认振子质量和弹簧刚度的确切数值，完成振子格栅耦合等效模型的构建。
3.2 等效方法的有效性验证
为了进行上述等效方法的有效性验证，本节以如图13所示的单层正交加筋板架结构为例。该板架结构由底板和等间距布置的T型材组成，其中底板长度为7m，宽度为5m，厚度为0.007m。在其x轴方向，等间距布置了7根T型材，两侧T型材距板架边缘0.5m;在其y轴方向，等间距布置了5根T型材，两侧T型材距板架边缘0.5m。T型材腹板尺寸为0.250m×0.015m，面板尺寸为0.125m×0.010m。板架底板和T型材材料均为船用Q235低碳钢。
图13 正交加筋板架模型 Fig.13 Plate frame model with positive reinforcement
将上述板架模型等效为如图14所示的周期振子格栅耦合模型。在该等效模型中，弹簧振子布置在每个格栅单元的中心点上方，弹簧一端连接振子，另一端连接格栅单元中心点。等效模型与板架模型均为相同材料，组成格栅单元的梁单元的位置和间距与板架模型中T型材的位置和间距完全相同。由于引入了带板作用系数，故在等效模型中格栅结构的梁单元截面形状从T型材变为了T型材与带板组合截面。
图14 等效周期振子格栅耦合模型 Fig.14 Equivalent periodic oscillator grid coupling model
因为等效模型与板架模型使用相同材料，所以在等效过程中涉及与材料自身属性相关的物理量(如弹性模量(E)、剪切模量(G)、材料密度( ho)、材料泊松比( u))均与原板架模型一致。为了等效带板对梁刚度影响而引入的带板作用系数(k_{Bx})、(k_{By})，不同的带板宽度会对等效模型中格栅梁单元的抗弯惯性矩(I_{Y})、(I_{Z})，抗扭惯性矩(I_{X})，剪切修正系数(kappa)和梁截面面积(A)产生影响。而为了等效板格对振动能量的耗散而引入的弹簧振子，虽然弹簧刚度(k)与振子质量(m_{r})的比值可以通过板格单元在四边固支条件下的一阶固有频率理论解确定，但两者的具体数值则需通过引入的振子质量系数(k_{mr})对板格质量进行放缩来确定。综上，在构建等效模型的过程中，需要在板格单元一阶固有频率和板格单元质量的前提下对带板作用系数和振子质量系数进行取值。二者的具体数值，通过等效模型与板架模型的固有频率对比分析来确定。
根据上文内容，由板格单元固有频率公式可得，板格单元的一阶固有频率为64.9031Hz，板格单元的质量为54.95kg。由式(33)可得，选取不同振子质量系数下振子质量与弹簧刚度如表1所示。
表1 振子质量与弹簧刚度对应关系
Tab.1 Correspondence between vibrator mass and spring stiffness
| 振子质量系数 | 振子质量(m_r/ ext{kg}) | 弹簧刚度(K_r/( ext{N·m}^{-1})) |
| 0.06 | 3.297 | (5.48×10^5) |
| 0.08 | 4.396 | (7.31×10^5) |
| 0.10 | 5.495 | (9.14×10^5) |
| 0.20 | 10.990 | (1.83×10^6) |
| 0.30 | 16.485 | (2.74×10^6) |
| 0.40 | 21.980 | (3.66×10^6) |
| 0.50 | 27.475 | (4.57×10^6) |
| 0.60 | 32.970 | (5.48×10^6) |
选取不同带板作用系数和振子质量系数构建出多组参数不同的等效周期振子格栅耦合模型，使用有限元手段计算等效模型和板架模型的一阶和二阶固有频率，结果如表2和表3所示。板架模型振动与等效模型振动的一阶和二阶模态如图15和图16所示。
表2 不同参数等效模型一阶固有频率
Tab.2 First-order natural frequencies of equivalent models with different parameters (单位：Hz)
| 带板作用系数 | 振子质量系数 | | | | |
| | 0.06 | 0.08 | 0.10 | 0.30 | 0.50 |
| 0.1 | 48.038 | 47.489 | 46.980 | 43.161 | 40.529 |
| 0.2 | 50.339 | 49.775 | 49.256 | 45.424 | 42.804 |
| 0.3 | 51.407 | 50.859 | 50.354 | 46.633 | 44.084 |
| 0.4 | 51.792 | 51.275 | 50.789 | 47.249 | 44.796 |
| 0.5 | 51.737 | 51.260 | 50.818 | 47.481 | 45.141 |
| 0.6 | 51.326 | 50.903 | 50.057 | 47.429 | 45.220 |
| 0.7 | 50.354 | 50.035 | 49.726 | 47.090 | 45.063 |
| 0.8 | 47.397 | 47.316 | 47.228 | 46.001 | 44.499 |
| 0.9 | 42.828 | 42.813 | 42.798 | 42.596 | 42.259 |
| 1.0 | 38.499 | 38.494 | 38.489 | 38.435 | 38.364 |
表3 不同参数等效模型二阶固有频率
Tab.3 Second-order natural frequencies of equivalent models with different parameters (单位：Hz)
| 带板作用系数 | 振子质量系数 | | | | |
|--|--|-|-|-|-|
| | 0.06 | 0.08 | 0.10 | 0.30 | 0.50 |
| 0.1 | 62.331 | 61.668 | 61.062 | 56.672 | 53.698 |
| 0.2 | 63.042 | 62.519 | 62.030 | 58.265 | 55.576 |
| 0.3 | 63.358 | 62.909 | 62.484 | 59.116 | 56.635 |
| 0.4 | 63.515 | 63.107 | 62.720 | 59.603 | 57.270 |
| 0.5 | 63.549 | 63.161 | 62.794 | 59.848 | 57.630 |
| 0.6 | 60.571 | 60.534 | 60.491 | 59.408 | 57.617 |
| 0.7 | 54.254 | 54.249 | 54.244 | 54.173 | 54.054 |
| 0.8 | 48.404 | 48.402 | 48.400 | 48.379 | 48.354 |
| 0.9 | 43.217 | 43.216 | 43.215 | 43.206 | 43.196 |
| 1.0 | 38.717 | 38.716 | 38.716 | 38.711 | 38.706 |
图15 板架模型振型 Fig.15 Mode shapes of plate frame model
(a) 板架模型一阶振型;(b) 板架模型二阶振型
图16 等效模型振型 Fig.16 Equivalent model vibration mode
(a) 等效模型一阶振型;(b) 等效模型二阶振型
原始板架模型一阶固有频率为49.774Hz，二阶固有频率为58.763Hz。从表2、表3可知，当带板作用系数(k_{Bx}=0.6)、(k_{By}=0.6)，振子质量系数(k_{mr}=0.1)时，等效模型的一阶固有频率为50.057Hz，二阶固有频率为60.491Hz，与板架模型较为相似。此时等效模型与板架模型的动力学特性最为相似，等效模型中梁单元的截面为T型材截面与其带板截面构成，其带板尺寸为0.600m×0.007m，T型材腹板尺寸为0.250m×0.015m，T型材面板尺寸为0.125m×0.010m。
依照2.2节中构建的二维周期振子格栅结构谱单元数学模型，将表4中的参数输入此数学模型，在点A施加沿z轴垂直向下的瞬时单位力，从0~150Hz扫频计算，提取点B沿z轴垂直向下的振动响应，载荷施加和响应采集位置如图17所示。
图17 载荷施加点和响应采集点位置 Fig.17 Location of load application point and response acquisition point
(a) 板架模型;(b) 等效模型
对于板架模型，在相同加载位置施加与等效模型计算相同的工况，边界条件为四边自由，计算并提取与等效模型对应位置的振动响应，对位移取级，并按照式(35)计算等效模型与板架模型的传递函数：
其对比结果如图18所示。
图18 单层板架模型与等效模型振动特性曲线 Fig.18 Vibration characteristic curves of single-layer plate frame model and equivalent model
(a) 板架模型与等效模型频域响应曲线;(b) 板架模型与等效模型传递函数
分析图中等效模型与板架模型的响应曲线和传递函数曲线，在0~77Hz频段内，使用谱单元法对等效周期振子格栅耦合模型计算的振动响应与原始板架模型的振动响应基本吻合。同时根据传递函数响应曲线分析，等效模型与板架模型均在62~77Hz频段存在带隙。虽然在77Hz之后，等效模型与板架模型的响应出现了误差，但曲线整体的起伏趋势大致相同。
通过对比谱单元的振动响应与板架模型的振动响应，发现当带板宽度为0.7倍梁间距，振子质量为0.1倍板格质量时其振动特性较为接近。其具体模型参数与频域振动响应曲线如表5与图19所示。
表4 等效周期振子格栅耦合结构模型参数
Tab.4 Parameters of equivalent periodic oscillator grid coupling structure model
| 单元类别 | 参数名称 | 参数值 |
| 材料属性 | 弹性模量(E/ ext{Pa}) | (2.1×10^{11}) |
| | 密度( ho/( ext{kg·m}^{-3})) | 7850 |
| | 泊松比( u) | 0.3 |
| 格栅单元 | 截面面积(A/ ext{m}^2) | 0.0099 |
| | y方向抗弯惯性矩(I_y/ ext{m}^4) | (9.96×10^{-5}) |
| | z方向抗弯惯性矩(I_z/ ext{m}^4) | (2.02×10^{-4}) |
| | 抗扭惯性矩(I_x/ ext{m}^4) | (5.04×10^{-7}) |
| | y方向剪切修正系数(kappa_y) | 0.52 |
| | z方向剪切修正系数(kappa_z) | 0.40 |
| 弹簧振子单元 | 振子质量(m_r/ ext{kg}) | 5.495 |
| | 弹簧刚度(K_r/( ext{N·m}^{-1})) | (9.14×10^5) |
表5 谱单元结构模型参数
Tab.5 Spectral unit structure model parameters
| 单元类别 | 参数名称 | 参数值 |
| 材料属性 | 弹性模量(E/ ext{Pa}) | (2.1×10^{11}) |
| | 密度( ho/( ext{kg·m}^{-3})) | 7850 |
| | 泊松比( u) | 0.3 |
| 格栅单元 | 截面面积(A/ ext{m}^2) | 0.0099 |
| | y方向抗弯惯性矩(I_y/ ext{m}^4) | (9.96×10^{-5}) |
| | z方向抗弯惯性矩(I_z/ ext{m}^4) | (2.02×10^{-4}) |
| | 抗扭惯性矩(I_x/ ext{m}^4) | (5.04×10^{-7}) |
| | y方向剪切修正系数(kappa_y) | 0.52 |
| | z方向剪切修正系数(kappa_z) | 0.40 |
| 弹簧振子单元 | 振子质量(m_r/ ext{kg}) | 5.495 |
| | 弹簧刚度(K_r/( ext{N·m}^{-1})) | (9.14×10^5) |
图19 板架模型与等效模型频域响应曲线 Fig.19 Frequency domain response curve of the plate frame model and equivalent model
使用谱单元法对板架模型进行等效，其频域响应与板架频域响应对比结果表明，在低频范围内对板架振动特性尤其是对固有频率处的响应计算有较好的等效效果。
4 结论
本文结论如下：
(1) 从梁结构和弹簧振子结构的频域运动方程出发，推导了二者的谱刚度阵，并通过坐标变换矩阵依照节点对应关系，将二者组合成周期格栅结构和周期振子格栅耦合结构，获得了两种结构的谱刚度阵和运动控制方程，构建了获得两种结构振动响应的计算方法，并且建立了一套快速获得多周期结构谱刚度阵的运动控制方程的方法。
(2) 提出了一套将周期板架结构等效为周期振子格栅耦合模型的等效方法，考虑到带板宽度对梁刚度的影响以及板格质量对振动能量的耗散，等效模型中的格栅结构梁截面为原有梁截面基础上添加与底板等厚的带板，而弹簧振子结构中的弹簧刚度和振子质量则通过板格质量和板格一阶固有频率来确定。
(3) 对于由单层底板组成的正交加筋板架结构，将其等效为周期单层振子格栅耦合结构，当带板宽度为0.6倍的梁间距、振子质量为0.1倍的板格质量时，具有较好的等效效果;使用谱单元法进行等效时，当带板宽度为0.7倍的梁间距、振子质量为0.1倍的板格质量时，可以较好地对板架的振动特性进行等效。
(4) 经有限元方法验证，船舶典型单层板架的等效周期振子格栅耦合结构的振动响应与传递特性在80Hz以内的低频范围内具有很好的等效性，高频区受板格局部振动影响导致偏差较大。等效结构与原结构“带隙”区域基本一致，证明了单层板架结构的局域共振带隙的产生机理主要是由于板格的局域共振。
通过本文方法，可以将复杂的船舶板架模型等效为周期振子格栅耦合模型，为计算复杂结构振动响应与传递特征提供了新的方法。以后的研究中，可通过此方法拓展到对空间板架结构进行等效，并应用于船体板架结构的等效建模中，对全船低频振动与噪声计算起到理论支撑作用，并有利于分析振动的传递特征，且基于此方法开展控制研究。
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